Као потомак дошљака из Херцеговине родио се у Дубровнику 18. фебруара 1815. године. Одмалена упућен на трговачке послове развијао се толико да је постао један од најимућнијих грађана Дубровника у којем партиципира на многим дужностима. Био је угледни члан општинске управе, трговачке коморе, а као истакнути бродовласник био је и управник поморскобродарског дубровачког друштва.

У политичком смислу подржавао је програмске циљеве Народне странке. Осим што је био укључен у друштвени живот града Дубровника, још више је био посвећен српској заједници. Био је на челу одбора и један од највећих донатора приликом подизања нове цркве Благовјештења у старом градском језгру, председник певачког друштва „Слога“ у Дубровнику и почасни члан српског певачког друштва „Јединство“ у Котору. Обилно је даривао српске цркве и манастире у Херцеговини, а за време невесињског устанка 1871. водио је дубровачки одбор за помоћ устаницима коме је приложио замашна властита средства за збрињавање избеглица и деце. Још за живота наменио је средства за Закладу Боже Бошковића од којих је 1880. отворена Српска православна девојачка школа у Дубровнику и Задужбина Боже Бошковића за сиромашну децу и сирочад у Дубровнику.

Његова жена Теодора, ћерка трговца Трипе Путице такође је знатне суме оставила у добротворне сврхе. Једнако издашни национални добротвор био је и његов рођени брат Нико с којим дели велику заједничку гробницу на Бонинову. Божо Бошковић је умро 3. јануара 1879. године.